PROPOSICIONES
Una proposición es una afirmación que comunica una idea verdadera o falsa;
a las preguntas, órdenes y exclamaciones no son consideradas proposiciones por
que no se puede afirmar que son verdaderas o falsas.
Para nombrar las proposiciones habitualmente, se utilizan letras
minúsculas, las más empleadas son: p, q,
r, s, y t
Ejemplos:
1. Determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones.
a) el Gato come ratones; es una
proposición porque se puede afirmar si el Gato come o no ratones.
b) ¿Cuál es tu nombre? No es una proposición ya que no se puede afirmar si
la pregunta es verdadera o falsa.
c) ¡Hola! No es una proposición, es una exclamación que indica saludo, por
lo tanto no se puede determinar su valor de verdad
2. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a) q: cinco más cuatro es igual a ocho (5 + 4 = 8); es una
proposición falsa, porque cinco más cuatro es igual a nueve
b) r: 2 elevado a la 3 es 8; 23 = 8; la proposición es
verdadera porque 2x2x2 = 8
PROPOSICIONES SIMPLES
Una proposición simple es una afirmación conformada por una sola oración
gramatical. La proposición r: Un triángulo equilátero es aquel
cuyos lados tienen la misma medida, es una proposición simple, puesto que está
conformada por una sola oración.
Ejemplos:
a) p: 5 + 7 = 12; Es una proposición simple ya que está formada
por una sola oración
b) q: Colombia está ubicada en Suramérica y Canadá está ubicada en
Norteamérica; No es una proposición simple ya que está formada por dos
oraciones gramaticales.
Negación de una proposición simple:
Para negar una proposición simple, se le antepone la expresión “no es
verdad que” o se le incluye un “no” para que cambie su significado a
exactamente lo contrario. El símbolo que la negación es “~”, se usa así: ~p y se lee como no p
Si la proposición es q: Bogotá
está a 2600 metros más cerca de las estrellas, se niega la proposición q como ~q y se lee Bogotá no está a 2600 metros más cerca de las estrellas.
Cuando se niega una proposición simple se cambia su valor de verdad.
Ejemplos:
Negar cada una de las siguientes proposiciones
a) q: En un polígono regular los
lados tienen la misma medida
~ q: En un polígono regular los lados no tienen la misma medida
b) r: Una decena tiene doce
unidades
~ r: Una decena no tiene doce unidades
PROPOSICIONES COMPUESTAS
Una proposición compuesta es una afirmación conformada por dos o más
proposiciones simples que se conectan
usando las palabras “y”, “o”, “si… entonces”, “no” y “si y solo si”
Así que si tiene dos proposiciones simples como:
p: Simón es un
hombre trabajador
q: Es una persona
amigable
Se puede generar una proposición compuesta; simón es un hombre trabajador y es una persona amigable
CONECTIVOS LÓGICOS
Los conectivos lógicos o conectores son palabras que vinculan las ideas
expresadas en dos o más proposiciones simples, para comunicar algo más
complejo.
EJEMPLO:
Escribir las siguientes proposiciones compuestas usando los símbolos
lógicos
a). Si la figura es un cuadrilátero entonces tiene cuatro lados.
Las proposiciones simples son:
p: la figura es un
cuadrilátero t: tiene cuatro lados
La proposición se puede escribir como p
→ t
CONJUNCIÓN
La conjunción es una operación lógica que usa el conectivo “y” para
relacionar dos proposiciones simples y construir una proposición compuesta. Al
simbolizar la conjunción de dos proposiciones r, s se escribe r
Λ s
y se lee r y s.
Cuando se establece conjunción entre dos proposiciones, se da a entender
que tanto la idea que expresa la primera proposición como la que expresa la
segunda deben cumplirse (inclusión).
Por Ejemplo si p y q son proposiciones
p: Cinco es un
número primo
q: Es impar
Se escribe p Λ q y se lee Cinco es un número primo y es
impar.
p Λ q
TABLA DE VERDAD PARA LA CONJUNCIÓN
El valor de verdad de una proposición compuesta depende de las
proposiciones simples que la conforman.
En la conjunción es importante tener en cuenta que la proposición compuesta
es verdadera solo si las dos proposiciones simples lo son, en cualquier otro
caso es falsa.
Representar simbólicamente las siguientes conjunciones.
a). Ocho es un número par y es divisible entre cuatro
p: Ocho es un número par
q: Es divisible entre cuatro
Luego se escribe utilizando el conector
p Λ q
b) anoche fui al teatro y pude apreciar una obra fabulosa.
Formar las conjunciones que se indican, teniendo en
cuenta las proposiciones simples dadas.
p: las orugas son semejantes a los gusanos
r: las mariposas se alimentan del néctar de las flores
q: las orugas se convierten en mariposas
s: las mariposas son ovíparas
a. p Λ
q
Las orugas son semejantes a los gusanos y se convierten en mariposas.
b. q Λ
r
Las orugas se convierten en mariposas y las mariposas se alimentan del
néctar de las flores.
c. s Λ
q
Las mariposas son ovíparas y las orugas se convierten en mariposas
DISYUNCIÓN
La disyunción de dos proposiciones simples se obtiene usando el conectivo
“o”, si r, s son dos proposiciones simples s escribe r V s y se lee r
o s.
Por ejemplo, si r y s son las proposiciones
r: Seis es un número mayor que cinco
s: Seis es un número menor que tres
Se escribe r V s y se lee: Seis es un número mayor que cinco o Seis
es un número menor que tres
r V s
TABLA DE VERDAD PARA LA DISYUNCIÓN
Al igual que la conjunción, la disyunción también tiene cuatro posibles
valores de verdad; es importante tener en cuenta que la disyunción es falsa
cuando las dos proposiciones simples lo son en caso contrario son verdaderas.
Dadas las proposiciones p, q, u formar las disyunciones
indicadas.
p: Simón Bolívar nació en Caracas
q: Murió en Santa Marta
u: Simón Bolívar triunfo en la batalla de Boyacá
a. p V q
Simón Bolívar nació en Caracas o
Murió en Santa Marta
b. p V u
Simón Bolívar nació en Caracas o triunfo en la batalla de Boyacá
c. u V q
Simón Bolívar triunfo en la batalla de Boyacá o Murió en Santa Marta
IMPLICACIÓN
La implicación de dos proposiciones simples se obtiene utilizando el
conectivo lógico si…entonces. La implicación entre dos proposiciones simples t
y k
se escribe t → k y se lee si t entonces k.
En la implicación t → k, t es condición necesaria
y suficiente para que ocurra k, por esta razón, a t
se le denomina antecedente y a k consecuente.
Por ejemplo sean t y k las proposiciones:
t: Francisco estudia
k: Aprobara el año
Se escribe t → k y se lee Si Francisco estudia entonces aprobara el año
t → k
TABLA DE VERDAD PARA LA IMPLICACIÓN
La siguiente es la tabla de verdad para la implicación. Es necesario tener
en cuenta que la implicación entre dos proposiciones simples es falsa cuando el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso en caso contrario es
verdadero.
Ejemplos:
Dadas las proposiciones p, q y r verdaderas, determinar
el valor de verdad de cada implicación
p: Hay combustible en los tanques
q: Los pasajeros llegan a tiempo
r: El avión vuela
a. p → r
Si hay combustible en los tanques entonces el avión vuela
Las dos proposiciones son verdades luego,
es verdadera.
b. r → ~q
Si el avión vuela entonces los pasajeros no llegan a tiempo
El antecedente es verdadero pero el consecuente es falso. La
proposición es falsa.
EQUIVALENCIA
La equivalencia entre dos proposiciones simples se establece utilizando el
conectivo lógico “si y solo si” para representar la equivalencia entre dos
proposiciones m y v se escribe m ↔ v y se lee m si y solo si v
Cuando dos proposiciones m y v son equivalentes, se da
a entender que m es condición necesaria y suficiente para que se cumpla v,
y a su vez, v es condición necesaria y suficiente para que se cumpla m.
es decir, se cumple que m ↔ v y v ↔ m
Por ejemplo, si m y v son las proposiciones.
m: Van de paseo por el eje cafetero
v: Ahorran todo el año
Se escribe m ↔ v y se lee van de paseo por el eje cafetero si y solo si ahorran todo el año
m ↔ v
TABLA DE VERDAD PARA LA EQUIVALENCIA
Existen cuatro posibles valores de verdad para la equivalencia entre dos
proposiciones simples:
La equivalencia entre dos proposiciones simples es verdadera cuando ambas
son verdaderas o ambas son falsas.
EJEMPLOS
Dadas las proposiciones p, q y r, establecer el valor de
verdad de las proposiciones compuestas
p: Usme es una localidad de Bogotá
q: Bogotá es la capital del departamento de Cundinamarca
r: Dos más nueve es quince
a. p ↔ r
De las dos proposiciones anteriores p es verdadera y r
es falsa por tanto p ↔ r es falso
b. r ↔ ~q
Las dos proposiciones son falsas. Luego r ↔ ~q es verdadera.
[(𝑝⟶𝑞)∧(𝑟∨𝑠)∧(𝑟⟶𝑡)∧(∼𝑞)∧(𝑢⟶𝑡)∧(𝑠⟶𝑝)]⟶𝑡
ResponderEliminarmuchas gracias
ResponderEliminargracias
ResponderEliminar• (p → ~r). EN QUE SACO ESTO PUEDE SER FALSO ??
ResponderEliminar¿sabe usted cómo se llaman las falsas proposiciones que parecen verdaderas?
ResponderEliminar{(p⟶q)∧(r⟶s)∧[(q∧s)⟶t]∧(p∧r)}⟶t
ResponderEliminarla gimnasia ritmica es un deporte atleticoes o no es una proposicion
ResponderEliminarla gimnasia ritmica es un deporte atleticoes o no es una proposicion
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