LOGICA Y CONJUNTOS


PROPOSICIONES

Una proposición es una afirmación que comunica una idea verdadera o falsa; a las preguntas, órdenes y exclamaciones no son consideradas proposiciones por que no se puede afirmar que son verdaderas o falsas.

Para nombrar las proposiciones habitualmente, se utilizan letras minúsculas, las más empleadas son: p, q, r, s, y t

Ejemplos:

1. Determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones.

a)  el Gato come ratones; es una proposición porque se puede afirmar si el Gato come o no ratones.

b) ¿Cuál es tu nombre? No es una proposición ya que no se puede afirmar si la pregunta es verdadera o falsa.

c) ¡Hola! No es una proposición, es una exclamación que indica saludo, por lo tanto no se puede determinar su valor de verdad

2. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a) q: cinco más cuatro es igual a ocho (5 + 4 = 8); es una proposición falsa, porque cinco más cuatro es igual a nueve

b) r: 2 elevado a la 3 es 8; 23 = 8; la proposición es verdadera porque 2x2x2 = 8

PROPOSICIONES SIMPLES

Una proposición simple es una afirmación conformada por una sola oración gramatical. La proposición r: Un triángulo equilátero es aquel cuyos lados tienen la misma medida, es una proposición simple, puesto que está conformada por una sola oración.

Ejemplos:

a) p: 5 + 7 = 12; Es una proposición simple ya que está formada por una sola oración

b) q: Colombia está ubicada en Suramérica y Canadá está ubicada en Norteamérica; No es una proposición simple ya que está formada por dos oraciones gramaticales.

 Negación de una proposición simple:

Para negar una proposición simple, se le antepone la expresión “no es verdad que” o se le incluye un “no” para que cambie su significado a exactamente lo contrario. El símbolo que la negación es “~”, se usa así: ~p y se lee como no p

Si la proposición es q: Bogotá está a 2600 metros más cerca de las estrellas, se niega la proposición q como ~q y se lee Bogotá no está a 2600 metros más cerca de las estrellas.

Cuando se niega una proposición simple se cambia su valor de verdad.

 






Ejemplos:

Negar cada una de las siguientes proposiciones

a) q: En un polígono regular los lados tienen la misma medida
  ~ q: En un polígono regular los lados no tienen la misma medida

b) r: Una decena tiene doce unidades
 ~ r: Una decena no tiene doce unidades

PROPOSICIONES COMPUESTAS

Una proposición compuesta es una afirmación conformada por dos o más proposiciones simples que se  conectan usando las palabras “y”, “o”, “si… entonces”, “no” y “si y solo si”

Así que si tiene dos proposiciones simples como:

p: Simón es un hombre trabajador
q: Es una persona amigable

Se puede generar una proposición compuesta; simón es un hombre trabajador y es una persona amigable

CONECTIVOS LÓGICOS

Los conectivos lógicos o conectores son palabras que vinculan las ideas expresadas en dos o más proposiciones simples, para comunicar algo más complejo.


 EJEMPLO:

Escribir las siguientes proposiciones compuestas usando los símbolos lógicos

a). Si la figura es un cuadrilátero entonces tiene cuatro lados.

Las proposiciones simples son:

p: la figura es un cuadrilátero     t: tiene cuatro lados

La proposición se puede escribir como pt


CONJUNCIÓN

La conjunción es una operación lógica que usa el conectivo “y” para relacionar dos proposiciones simples y construir una proposición compuesta. Al simbolizar la conjunción de dos proposiciones r, s se escribe r Λ s y se lee r y s.

Cuando se establece conjunción entre dos proposiciones, se da a entender que tanto la idea que expresa la primera proposición como la que expresa la segunda deben cumplirse (inclusión).

Por Ejemplo si p y q son proposiciones

p: Cinco es un número primo
q: Es impar

Se escribe p Λ q y se lee Cinco es un número primo  y   es impar.
                                                               p                   Λ        q

TABLA DE VERDAD PARA LA CONJUNCIÓN

El valor de verdad de una proposición compuesta depende de las proposiciones simples que la conforman.

En la conjunción es importante tener en cuenta que la proposición compuesta es verdadera solo si las dos proposiciones simples lo son, en cualquier otro caso es falsa.


Representar simbólicamente las siguientes conjunciones.

a). Ocho es un número par y es divisible entre cuatro

p: Ocho es un número par
q: Es divisible entre cuatro

Luego se escribe utilizando el conector  p Λ q

b) anoche fui al teatro y pude apreciar una obra fabulosa.

Formar las conjunciones que se indican, teniendo en cuenta las proposiciones simples dadas.

p: las orugas son semejantes a los gusanos
r: las mariposas se alimentan del néctar de las flores
q: las orugas se convierten en mariposas
s: las mariposas son ovíparas

a. p Λ q
Las orugas son semejantes a los gusanos y se convierten en mariposas.

b. q Λ r
Las orugas se convierten en mariposas y las mariposas se alimentan del néctar de las flores.

c. s Λ q
Las mariposas son ovíparas y las orugas se convierten en mariposas


DISYUNCIÓN

La disyunción de dos proposiciones simples se obtiene usando el conectivo “o”, si r, s son dos proposiciones simples s escribe r V s y se lee r o s.

Por ejemplo, si r y s son las proposiciones

r: Seis es un número mayor que cinco
s: Seis es un número menor que tres

Se escribe r V s y se lee: Seis es un número mayor que cinco  o  Seis es un número menor que tres
                                                                  r                               V                            s

TABLA DE VERDAD PARA LA DISYUNCIÓN

Al igual que la conjunción, la disyunción también tiene cuatro posibles valores de verdad; es importante tener en cuenta que la disyunción es falsa cuando las dos proposiciones simples lo son en caso contrario son verdaderas.


 Dadas las proposiciones p, q, u formar las disyunciones indicadas.

p: Simón Bolívar nació en Caracas
q: Murió en Santa Marta
u: Simón Bolívar triunfo en la batalla de Boyacá

a. p V q
Simón  Bolívar nació en Caracas o Murió en Santa Marta

b. p V u
Simón Bolívar nació en Caracas o triunfo en la batalla de Boyacá

c. u V q
Simón Bolívar triunfo en la batalla de Boyacá o Murió en Santa Marta


IMPLICACIÓN

La implicación de dos proposiciones simples se obtiene utilizando el conectivo lógico si…entonces. La implicación entre dos proposiciones simples t y k se escribe t k y se lee si t entonces k.

En la implicación t k, t es condición necesaria y suficiente para que ocurra k, por esta razón, a t se le denomina antecedente y a k consecuente.

Por ejemplo sean t y k las proposiciones:
t: Francisco estudia
k: Aprobara el año

Se escribe t k y se lee Si Francisco estudia entonces aprobara el año
                                                         t                    →                 k

TABLA DE VERDAD PARA LA IMPLICACIÓN

La siguiente es la tabla de verdad para la implicación. Es necesario tener en cuenta que la implicación entre dos proposiciones simples es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso en caso contrario es verdadero.



Ejemplos:

Dadas las proposiciones p, q y r verdaderas, determinar el valor de verdad de cada implicación

p: Hay combustible en los tanques
q: Los pasajeros llegan a tiempo
r: El avión vuela

a. p r
Si hay combustible en los tanques entonces el avión vuela
Las dos proposiciones son verdades luego,  es verdadera.

b. r → ~q
Si el avión vuela entonces los pasajeros no llegan a tiempo
El antecedente es verdadero pero el consecuente es falso. La proposición  es falsa.


EQUIVALENCIA

La equivalencia entre dos proposiciones simples se establece utilizando el conectivo lógico “si y solo si” para representar la equivalencia entre dos proposiciones m y v se escribe m ↔ v y se lee m si y solo si v

Cuando dos proposiciones m y v son equivalentes, se da a entender que m es condición necesaria y suficiente para que se cumpla v, y a su vez, v es condición necesaria y suficiente para que se cumpla m. es decir, se cumple que m ↔ v y v ↔ m

Por ejemplo, si m y v son las proposiciones.

m: Van de paseo por el eje cafetero
v: Ahorran todo el año

Se escribe m ↔ v y se lee van de paseo por el eje cafetero  si y solo si  ahorran todo el año
                                                            m                                   ↔                   v

TABLA DE VERDAD PARA LA EQUIVALENCIA

Existen cuatro posibles valores de verdad para la equivalencia entre dos proposiciones simples:

La equivalencia entre dos proposiciones simples es verdadera cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.



EJEMPLOS

Dadas las proposiciones p, q y r, establecer el valor de verdad de las proposiciones compuestas

p: Usme es una localidad de Bogotá
q: Bogotá es la capital del departamento de Cundinamarca
r: Dos más nueve es quince

a. p ↔ r
De las dos proposiciones anteriores p es verdadera y r es falsa por tanto p ↔ r es falso

b. r ↔ ~q
Las dos proposiciones son falsas. Luego r ↔ ~q es verdadera.

8 comentarios:

  1. [(𝑝⟶𝑞)∧(𝑟∨𝑠)∧(𝑟⟶𝑡)∧(∼𝑞)∧(𝑢⟶𝑡)∧(𝑠⟶𝑝)]⟶𝑡

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  2. • (p → ~r). EN QUE SACO ESTO PUEDE SER FALSO ??

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  3. ¿sabe usted cómo se llaman las falsas proposiciones que parecen verdaderas?

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  4. {(p⟶q)∧(r⟶s)∧[(q∧s)⟶t]∧(p∧r)}⟶t

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  5. la gimnasia ritmica es un deporte atleticoes o no es una proposicion

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  6. la gimnasia ritmica es un deporte atleticoes o no es una proposicion

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